初中数学：不同背景下的最短路径问题解题方法和技巧（珍藏版）

最短路径问题的规律或关键在于：动点在哪条直线上，就以哪条直线为对称轴，作定点关于此直线的对称点，实现“折转直”。

理论依据：“两点之间线段最短”、“三角形两边之和大于第三边”、“垂线段最短”、“点关于线对称”、“线段的平移”、“立体图形展开图”。

出题背景：直线、平行线、角、三角形、坐标轴、矩形、菱形、长方体、圆、圆锥、抛物线等。

一、“直线”背景

1.1、两点位于直线异侧或同侧（将军饮马问题、两定一动模型）

例1、如左图，A，B在直线a的两侧，在a上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线a的交点P ，即为所求。（理论依据：两点之间线段最短.）

例2、如右图，A，B在直线a的同侧，在a上求一点P，使得PA+PB最小。

解：如图，作定点B关于直线a的对称点B’，连接AB’与直线a的交点P1即为所求。

理论依据：三角形两边之和大于第三边。（AP+PB’>AB’）

二、“平行线”背景（造桥选址问题）

例3、如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥CD，桥造在何处才能使从A到B的路径ACDB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，

2.连接AE交河上岸与点C,

3、过点C作CD垂直于对岸于点D，CD即为所求。

证明：由平移的性质，得 BE平行且等于CD

∴DB=CE

∴AC+CD+DB=AC+CE+EB=AE+EB

而对于桥上岸任一点P，都有AP+PE>AE（理论依据：三角形两边之和大于第三边）。

所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。

三、“角”背景（点在角的内部）

例4、如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求

四、“三角形”背景（费马问题）

例5、已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和为最小。

解：把△BPC绕点B旋转60°，点P对应点P'，点C对应点C'，于是就有

PC = P'C'， PB = PP' （∵ △PBP' 是等边三角形）

∴PA + PB + PC = PA + PP' + P'C'

而PA + PB + PC = PA + PP' + P'C' ≥ AC'（原理：两点之间线段最短）

显然，如果上面的不等式能取到等号，那么这时候的点P就是到点 A, B, C 距离之和最小的点，也就是费马点。

五、“坐标轴”背景

六、“棱形”背景

七、“矩形”背景

例8、矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为

（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ）

八、“长方体”背景

长方体展开方式有三种：①右侧面与下底面展开在同一平面内

②前表面与上表面展开在同一平面内③上表面与左侧面展开在同一平面内。求得三种路程，然后进行比较大小，即可得到最短路程.

例9、如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ）

九、“圆”背景

例10、如图，AB为⊙O直径，AB=2，OC为半径，OC⊥AB,D为AC三等分点，点P为OC上的动点，求AP+PD的最小值。

十、“圆椎”背景

将圆锥侧面展开，可将其侧面展开在同一平面内，利用平面图形的知识求出最短路程。

例11、如图，一直圆锥的母线长为OA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是 （结果保留根式）

十一、“抛物线”背景

最短路径问题几乎是历年中考必考题型。由于篇幅有限，今天仅考虑最短路径一个动点的模型。

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